SISTEMA POLAR

SISTEMA POLAR 

realizar conversiones entre ordenadas polares y rectangulares 

Un sistema rectangular se compone por ejes perpendiculares que cuentan con proyecciones para ubicar un punto en el plano, un sistema polar cuenta con círculos concéntricos que representa la magnitud y radios homogéneos que representan el ángulo de inclinación.

Para calcular un punto en coordenadas polares se utiliza la siguiente ecuación:

Para convertir una coordenada rectangular en polar se utiliza las siguientes ecuaciones:

Para graficar una ecuación se debe tener una variable independiente, en el sistema polar la variable dependiente es generalmente el ángulo, los principales lugares  geométricos (casos especiales) son: caracoles , rosas, lemins catas y espirales.

ejemplo:

HIPERBOLA

HIPÉRBOLA 

 con centro  fuera del origen 

cuando  una hipérbola no se encuentra en el origen sus elementos se representan en función del centro como  muestra el siguiente esquema 

ejemplo :

procedimiento:

tenemos a=3 y b=2

entonces los vertices serian (-3, -1+3)=(-3,2) y 

(-3, -1-3)=(-3,-4)

los focos serian (-3, -1+ raiz de 13)=(-3,2.6) y 

(-3, -1-raiz de 13)=(-3, -4.6)

lado recto 8/3=2.6

eje transverso 2a=2(3)=6

eje conjugado 2b=2(2)=4

HIPERBOLA

HIPÉRBOLA 

Para identificar sus elementos es indispensable identificar las variables:

a= Distancia entre centro y vértice

b= Distancia entre centro y eje transverso

c= Distancia entre centro y foco

La "e" (excentricidad) es mayor o igual a 1 y sus elementos se calculan con las siguientes expresiones

EJEMPLO:

PROCEDIMIENTO :

 a=2 y b=3 

hallamos a c con su formula y nos da la raíz cuadrada de 13 

sus vértices son mas menos (2,0)

sus focos son mas menos (raíz de 13 , 0)

lado recto 18/2=9 

eje transverso =2(a)=2(2)=4

eje conjugado 2(b)=2(3)=6

excentricidad raiz de 13/2

elipse fuera del origen

ELIPSE
 identificar los elementos de una elipse con centro fuera del origen

en esta la excentricidad es igual o mayor a 1

ejemplo :

procedimiento :

en este ejemplo ya nos dan el centro que es (4,3) en donde h=4 y k=3

nos dan  a y b donde a= 3 y b=2 nos falta c 

hallamos c con su formula y nos da raiz de 5

nuestras vertices serian (4, 3+3) =(4,6) y la otra seria (4, 3-3)=(4,0)

nuestros focos serian (4,3+ raiz de 5)=(4,5.2) y el otro seria (4, 3- raiz de 5)= (4, 0.7)

el lado recto seria 8/3 y es igual a 2.6 

su eje mayor = 2(a)=2(3)=6

eje menor=2(b)=2(2)=4 

y su excentricidad  raiz de 5 / 3 

ELIPSE

 ELIPSE 

Una elipse es el lugar geométrico que se forma a partir de un corte diagonal o cono.

Su ecuación se define como una ecuación cuadrática donde la variable dependiente e independiente son de segundo grado de diferente coeficiente y de signo positivo.

una elipse se define como una cónica formada cuando se realiza un corte en diagonal a un bono en forma análoga a la parábola es una cónica formada por dos parábolas que cuentan con el mismo eje simétrico y su concavidad es opuesta sus elementos importantes son:

 A) vértice
 B) foco
 C) lado recto
 D) eje mayor (distancia entre vértices)
 E) eje menor (ancho de la parábola)
 F) directriz (excentricidad)

Para calcular los elementos de una parábola cuando el centro se encuentra en el origen se debe identificar los valores de la distancia focal, la distancia del foco al centro y la distancia del centro al eje menor (A-B-C).

Las ecuaciones matemáticas utilizadas en esta cónica se representan en el siguiente esquema.

a= distancia "centro-vértice"

b= distancia "centro-eje menor"

c= distancia "centro-foco"

ejemplo:

16x² + 25y² = 400

procedimiento:

se trasforma la ecuacion a si forma canónica en donde el 25 nos queda abajo de x y 16 nos queda abajo de y y esto nos quiere decir va ser una elipse horizontal 

ya que tenemos a y b  donde a = 5 y b = 4 

tenemos que hallar a c  y se es la raiz cuadrada de a caudrada y b cuadrada y esto nos da un resultado de 3 

ya tenemos vertices (5,0) y (0,5)

focos (3,0)y (0,3)

ahora calculamos el lado recto su formula es 2 por b cuadrada entre a y esto nos da un resultado de 6.4

la excentricidad que es c sobre a y esta nos da un resultado de 0.6

el eje mayor es 2(a) y este es igual a 10 

y el eje menor es 2(b) y este es igual a 8

parábola

parábola 

objetivo identificar la ecuación de una parábola con centro en el origen 

Para calcular los elementos de una parábola con vértice en el origen debemos identificar el valor de la distancia focal "P" los elementos importantes de una parábola son:

a) Vértice
b) Foco
c) Directriz

Las ecuaciones para calcular los elementos de una parábola con vértice en el origen son:

pasos a seguir 

• identificar los elementos 
• acomodar los valores 
• y graficar 

ejemplo

grafica la parábola cuya ecuación es 3x2 - 12y =0

parábola con vértice fuera del origen 

objetivo identificar la ecuación de una parábola con vértice fuera sel origen 

pasos a seguir 

• identificar elementos 
• sustituir los elementos 
• graficar 

ejemplo

problemas  de aplicación de la parábola

objetivo resolver problemas de aplicación 

pasos a seguir

• leemos bien el problema 
• sustituimos
• despejamos p 
• y resolvemos

ejemplo

circunferencia

circunferencias 

objetivo identificar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen 

Las cónicas se definen como aquellos lugares geométricos  que se forman  a partir de cortes realizados a un cono,si el cono se corta en forma horizontal se obtiene una circunferencia, si el corte se realiza en forma diagonal se obtiene una elipse, si el corte se realiza en forma vertical se obtiene una parábola,si el corte se realiza a 2 conos concéntricos  se obtiene una hipérbola. 

Una circunferencia se define como el lugar geométrico formado por puntos equidistantes a un punto llamado centro y cualquier punto se denomina rápido.Cuando una circunferencia tiene su centro en el origen ser representa matemáticamente con la siguiente ecuación.

pasos a seguir 

• identificar el radio 
• identificar los puntos 
• graficar la circunferencia
• 
  

ejemplo 

grafique la circunferencia x2 + y2 = 36

circunferencia con centro fuera del origen 

objetivo identificar la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen 

La ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen se determina por la ecuación

radio =r
centro= c (h,k)
La ecuación general se calcula desarrollando los binomios al cuadrado de la ecuación a "0" obteniendo una ecuación de la forma: 

pasos a seguir

• sustituir los datos en la ecuación 
• resolver los problemas encontrados 
• graficar ya que tengas toso lo necesario 

ejemplo

tienes un centro en (2,-3)y un radio 5 encuentra su forma general y grafique

 

circunferencia problemas de aplicación

objetivo resolver problemas de aplicación

Para resolver un problema de aplicación se debe diseñar el boceto donde se expresan los elementos de la circunferencia identificando las variables e incógnitas que intervienen en ella

pasos a seguir 

• leer detenidamente lo que te pide el problema 
• ubicar los datos que te da
• hacer esquema 
• y conseguir la formula que te puede ayudar ha resolver 

ejemplo